01.2 Откуда отсчитываются координаты

Содержание и основные понятия

На предыдущей странице: вектор и его координаты.
Чтобы назвать координаты, нужно выбрать направления измерения — базис. Поворот этих направлений меняет запись чисел, но не саму стрелку.
Одна стрелка [3,4]; направления [1,0] и [1,1].
Координаты и расчёт геометрического примера приведены в тексте. Для изменения пространственного рисунка включитеJavaScript.
Один вектор допускает разные координатные записи
Координаты отвечают не только на вопрос «где конец стрелки», но и на вопрос «сколько раз взять каждое выбранное направление». Набор
b
1
,
…
,
b
n
b_1,\ldots,b_n
b
1
​
,
…
,
b
n
​
называется базисом
R
n
\mathbb R^n
R
n
, если каждый вектор
x
x
x
единственным образом представим как
x
=
c
1
b
1
+
⋯
+
c
n
b
n
.
x=c_1b_1+\cdots+c_nb_n.
x
=
c
1
​
b
1
​
+
⋯
+
c
n
​
b
n
​
.
Существование такого разложения означает, что базис порождает пространство. Единственность обеспечивается линейной независимостью: равенство
a
1
b
1
+
⋯
+
a
n
b
n
=
0
a_1b_1+\cdots+a_nb_n=0
a
1
​
b
1
​
+
⋯
+
a
n
​
b
n
​
=
0
возможно только при
a
1
=
⋯
=
a
n
=
0
a_1=\cdots=a_n=0
a
1
​
=
⋯
=
a
n
​
=
0
. Если ненулевая комбинация даёт ноль, один из векторов базиса избыточен, а координаты перестают быть однозначными.
Соберём базисные векторы в столбцы матрицы
B
=
[
b
1
⋯
b
n
]
B=[b_1\ \cdots\ b_n]
B
=
[
b
1
​
⋯
b
n
​
]
, а коэффициенты в столбец
c
c
c
. Тогда одна геометрическая стрелка связывается с координатами формулой
x
=
B
c
.
x=Bc.
x
=
B
c
.
Если столбцы образуют базис,
B
B
B
обратима и
c
=
B
−
1
x
.
c=B^{-1}x.
c
=
B
−
1
x
.
Важно направление преобразования:
c
c
c
сообщает, сколько взять базисных столбцов;
B
c
Bc
B
c
восстанавливает мировые координаты
x
x
x
. Матрица
B
−
1
B^{-1}
B
−
1
выполняет обратный переход.
Три точные записи одной стрелки
Пусть мировая стрелка фиксирована:
x
=
[
3
,
4
]
T
x=[3,4]^T
x
=
[
3
,
4
]
T
.
В стандартном базисе
e
1
=
[
1
,
0
]
T
e_1=[1,0]^T
e
1
​
=
[
1
,
0
]
T
,
e
2
=
[
0
,
1
]
T
e_2=[0,1]^T
e
2
​
=
[
0
,
1
]
T
:
x
=
3
e
1
+
4
e
2
,
c
s
t
d
=
[
3
,
4
]
T
.
x=3e_1+4e_2,
\qquad c_{std}=[3,4]^T.
x
=
3
e
1
​
+
4
e
2
​
,
c
s
t
d
​
=
[
3
,
4
]
T
.
В косом базисе
b
1
=
[
1
,
0
]
T
b_1=[1,0]^T
b
1
​
=
[
1
,
0
]
T
,
b
2
=
[
1
,
1
]
T
b_2=[1,1]^T
b
2
​
=
[
1
,
1
]
T
:
B
=
[
1
1
0
1
]
,
c
=
[
−
1
4
]
,
B
c
=
[
3
4
]
.
B=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},
\qquad
c=\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix},
\qquad
Bc=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}.
B
=
[
1
0
​
1
1
​
]
,
c
=
[
−
1
4
​
]
,
B
c
=
[
3
4
​
]
.
Коэффициент
−
1
-1
−
1
означает один шаг против
b
1
b_1
b
1
​
, затем четыре шага вдоль
b
2
b_2
b
2
​
. Числа
[
−
1
,
4
]
[-1,4]
[
−
1
,
4
]
, нарисованные в стандартном базисе, дали бы другую стрелку. Они являются координатами исходного
x
x
x
только вместе с матрицей
B
B
B
.
Для повёрнутого базиса
b
1
=
[
0
,
1
]
T
b_1=[0,1]^T
b
1
​
=
[
0
,
1
]
T
,
b
2
=
[
−
1
,
0
]
T
b_2=[-1,0]^T
b
2
​
=
[
−
1
,
0
]
T
:
B
=
[
0
−
1
1
0
]
,
c
=
[
4
,
−
3
]
T
,
B
c
=
[
3
,
4
]
T
.
B=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix},
\qquad c=[4,-3]^T,
\qquad Bc=[3,4]^T.
B
=
[
0
1
​
−
1
0
​
]
,
c
=
[
4
,
−
3
]
T
,
B
c
=
[
3
,
4
]
T
.
Во всех трёх случаях меняются числа и координатная сетка, но мировой конец стрелки остаётся
(
3
,
4
)
(3,4)
(
3
,
4
)
.
Размерность и вырожденный набор
Размерность конечномерного пространства равна числу векторов в любом его базисе. На плоскости два независимых направления достаточны и необходимы. Набор
[
1
,
0
]
T
,
[
2
,
0
]
T
[1,0]^T,[2,0]^T
[
1
,
0
]
T
,
[
2
,
0
]
T
плоскость не порождает: любая комбинация остаётся на горизонтальной прямой,
c
1
[
1
,
0
]
T
+
c
2
[
2
,
0
]
T
=
[
c
1
+
2
c
2
,
0
]
T
.
c_1[1,0]^T+c_2[2,0]^T=[c_1+2c_2,0]^T.
c
1
​
[
1
,
0
]
T
+
c
2
​
[
2
,
0
]
T
=
[
c
1
​
+
2
c
2
​
,
0
]
T
.
Для
x
=
[
3
,
4
]
T
x=[3,4]^T
x
=
[
3
,
4
]
T
решения нет, потому что вторая координата любой комбинации равна нулю. Для точки
[
3
,
0
]
T
[3,0]^T
[
3
,
0
]
T
, напротив, решений бесконечно много: например,
(
c
1
,
c
2
)
=
(
3
,
0
)
(c_1,c_2)=(3,0)
(
c
1
​
,
c
2
​
)
=
(
3
,
0
)
и
(
1
,
1
)
(1,1)
(
1
,
1
)
. Поэтому отсутствие обратной матрицы проявляется либо отсутствием координат, либо их неединственностью.
Длина в косых координатах
В стандартном ортонормированном базисе
∥
x
∥
2
2
=
x
T
x
\|x\|_2^2=x^Tx
∥
x
∥
2
2
​
=
x
T
x
. В косом базисе нельзя бездумно сложить квадраты коэффициентов
c
c
c
. Поскольку
x
=
B
c
x=Bc
x
=
B
c
,
∥
x
∥
2
2
=
(
B
c
)
T
(
B
c
)
=
c
T
B
T
B
c
=
c
T
G
c
,
G
=
B
T
B
.
\|x\|_2^2=(Bc)^T(Bc)=c^TB^TBc=c^TGc,
\qquad G=B^TB.
∥
x
∥
2
2
​
=
(
B
c
)
T
(
B
c
)
=
c
T
B
T
B
c
=
c
T
G
c
,
G
=
B
T
B
.
Для косого примера
G
=
[
1
1
1
2
]
,
c
T
G
c
=
25
,
G=\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix},
\qquad
c^TGc=25,
G
=
[
1
1
​
1
2
​
]
,
c
T
G
c
=
25
,
тогда как
(
−
1
)
2
+
4
2
=
17
(-1)^2+4^2=17
(
−
1
)
2
+
4
2
=
17
. Матрица Грама хранит углы и длины базисных направлений. Простая сумма квадратов координат работает только для ортонормированного базиса.
В лаборатории переключайте базис при неизменном
x
x
x
. Проверяйте не похожесть рисунка, а равенство
B
c
=
x
Bc=x
B
c
=
x
. Затем сопоставьте координаты с матрицей Грама: метрика относится к геометрическому объекту, а не автоматически к списку его коэффициентов.
B = [[1, 1], [0, 1]]
x = [3, 4]
c = [x[0] - x[1], x[1]]
recovered = [B[0][0]*c[0] + B[0][1]*c[1],
B[1][0]*c[0] + B[1][1]*c[1]]
assert c == [-1, 4] and recovered == x
Код повторяет только что разобранные операции.
Полный проверяемыйPython-пример главы
доступен отдельным файлом; показанный короткий фрагмент не заменяет его реализацию.
Сама стрелка осталась прежней. Изменилась система направлений, через которую мы её описываем.
Как измерить длину. Как этот вопрос продолжает полученный результат?
Python-примеры главы 01
Академическая база →